Zadania

Rozwiąż zadanie

Czworokąt ACD, w którym  $\left|BC\right|=4 i \left|CD\right|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze $60°$, natomiast z bokiem AB – kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$.

Oblicz obwód czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż zadanie

W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania.

Następnie – z kul pozostałych w pojemniku – losujemy jeszcze jedną kulę.

Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim losowaniu.

Rozwiąż zadanie

Rozwiąż nierówność $\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}$

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ dla każdej liczby rzeczywistej a.

Wybierz poprawną odpowiedź

Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2p-1)x + p  jest liczba (−4). Wtedy:

Rozwiąż zadanie

Funkcja f jest określona wzorem $f\left(x\right)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt P = ($x_0$ , 3) należy do wykresu funkcji f. Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.

Rozwiąż zadanie

Rozwiąż równanie $3x^3-2x^2-12x+8=0$

Zapisz obliczenia.

Wybierz poprawną odpowiedź

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji f w układzie współrzędnych (x, y). 

Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki:

Rozwiąż zadanie

Rozwiąż nierówność $\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}$.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ dla każdej liczby rzeczywistej a.

Wybierz poprawną odpowiedź

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Rozwiąż zadanie

Określamy kwadraty K1, K2, K3, … następująco:

•  K1 jest kwadratem o boku długości a 
•  K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3
•  K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2,$
•  Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn-1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. 

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.