Zadania

Rozwiąż zadanie

Określamy kwadraty K1, K2, K3, … następująco:

•  K1 jest kwadratem o boku długości a 
•  K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3
•  K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2,$
•  Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn-1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. 

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż zadanie

Określamy kwadraty K1, K2, K3, … następująco:

•  K1 jest kwadratem o boku długości a 
•  K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3
•  K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2,$
•  Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn-1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. 

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. 

Wybierz poprawną odpowiedź

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest określony wzorem $a_n=2^n(n+1)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Wyraz $a_4$ jest równy:

Wybierz poprawną odpowiedź

Ciąg ($a_n$) jest określony wzorem $a_n=2^n\left(n+1\right)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz $a_4$ jest równy

Wybierz poprawną odpowiedź

Trzywyrazowy ciąg (27, 9, a − 1) jest geometryczny. Liczba a jest równa :

Wybierz poprawną odpowiedź

Trzywyrazowy ciąg (27, 9, a − 1) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba a jest równa

Rozwiąż zadanie

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia. 

Rozwiąż zadanie

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. 

Rozwiąż zadanie

Ciąg ($a_n$) jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ wzorem $a_n=\frac{\left(7p-1\right)n^3+5pn-3}{\left(p+1\right)n^3+2^2+p}$ , gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość p, dla której granica ciągu ($a_n$) jest równa $\frac{4}{3}$ .

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. 

Rozwiąż zadanie

Ciąg ($a_n$ ), określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie.

Ponadto $a_1=675 i a_{22}=\frac{5}{4}{a}_{23}+\frac{1}{5}{a}_{21}$.

Ciąg ($b_n$ ), określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu ($a_n$ ) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu ($b_n$ ).

Ponadto  $a_3=b_4$.   Oblicz $b_1$.