Zadania z matematyki

Rozwiąż zadanie

Określamy kwadraty K1, K2, K3, … następująco:

•  K1 jest kwadratem o boku długości a 
•  K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3
•  K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2,$
•  Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn-1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. 

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż zadanie

Określamy kwadraty K1, K2, K3, … następująco:

•  K1 jest kwadratem o boku długości a 
•  K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3
•  K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2,$
•  Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn-1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. 

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. 

Wybierz poprawną odpowiedź

Trzywyrazowy ciąg (27, 9, a − 1) jest geometryczny. Liczba a jest równa :

Wybierz poprawną odpowiedź

Trzywyrazowy ciąg (27, 9, a − 1) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba a jest równa

Rozwiąż zadanie

Ciąg ($a_n$ ), określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie.

Ponadto $a_1=675 i a_{22}=\frac{5}{4}{a}_{23}+\frac{1}{5}{a}_{21}$.

Ciąg ($b_n$ ), określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu ($a_n$ ) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu ($b_n$ ).

Ponadto  $a_3=b_4$.   Oblicz $b_1$.

Wybierz poprawną odpowiedź

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, są dodatnie i $9a_5=4a_3$.

Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Wybierz poprawną odpowiedź

Trzywyrazowy ciąg $(15, 3x, \frac{5}{3})$ jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie.

Stąd wynika, że:

Rozwiąż zadanie

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $\left(a_1, a_2, a_3\right)$ spełniona jest równość $a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}$ . 

Wyrazy $a_1, a_2, a_3$  są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_1$ . 

Rozwiąż zadanie

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ , określonego dla $n\ge 1$, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $6a_1-5a_2+a_3=0$ .

Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału .

Rozwiąż zadanie

Trzywyrazowy ciąg (a, b, c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $\left(\frac{1}{a}, \frac{2}{3b}, \frac{1}{2a+2b+c}\right)$ jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.