Zadanie nr. 10 matura z matematyki 2022 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Zacznijmy od wyliczenia q. Zapiszmy wyraz $a_{22}$ za pomocą wyrazu $a_{21}$:

$a_{21}\times q=\frac{5}{4}{a}_{21}\times q^2+\frac{1}{5}{a}_{21}$

Wiemy, że wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, dlatego możemy podzielić równanie przez $a_{21}$ i otrzymujemy:

$$\begin{gathered} q=\frac{5}{4}{q}^2+\frac{1}{5} \\ 25q^2-20q+4=0 \\ ∆={\left(-20\right)}^2-4\times 25\times 4 \\ ∆=400-400=0 \\ \mathit{q}=\frac{-b}{2a}=\frac{20}{50}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}} \end{gathered}$$

Obliczmy teraz sumę wszystkch wyrazów ciągu $a_n$, wykorzystując do tego wzór w tablic:

$$\begin{gathered} S_n=\frac{a_1}{1-q} \\ {S}_n=\frac{675}{1-{\displaystyle \frac{2}{5}}} \\ {S}_n=\frac{675}{{\displaystyle \frac{3}{5}}} \\ {\mathit{S}}_{\mathbf{n}}=\frac{675}{1}\times \frac{5}{3}=\mathbf{1125} \end{gathered}$$

Wiemy, że $a_3=b_4$:

$$\begin{gathered} a_3=a_1\times q^2 \\ {a}_3=675\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^2 \\ {a}_3=675\times \frac{4}{25} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{108} \\ {\mathit{b}}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{108} \end{gathered}$$

Wiemy również, że suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wykorzystamy wzór z tablic :    $S_n=\frac{2b_1+\left(n-1\right)r}{2}\times n$

Stworzymy sobie teraz układ równań, w którym zbierzemy wszystkie informacje na temat ciągu arytmetycznego:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{S}_{25}=\frac{2b_1+\left(25-1\right)r}{2}\times 25\\ b_4=b_1+3r\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}1125=\frac{2b_1+\left(25-1\right)r}{2}\times 25\\ 108=b_1+3r\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}1125=\left(b_1+12r\right)\times 25\\ 108=b_1+3r\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}45=b_1+12r\\ 108=b_1+3r\end{array}\right. \\ Odejmujemy \\ -63=9r \\ \mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{7} \\ Podstawiamy \\ 108=b_1-21 \\ {\mathit{b}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{129} \end{gathered}$$