Zadanie nr. 13 matura z matematyki 2022 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Na początku zróbmy rysunki pomocnicze :

Wypiszmy sobie kilka założeń, z których później skorzystamy:

$$\begin{gathered} h^2+a^2=x^2 \\ {h}^2+b^2=y^2 \\ {a}^2+b^2=d^2 \end{gathered}$$

Obliczmy xy wykorzystując to, że znamy pole trójkąta AFH oraz $\sin \alpha$ (wzór z tablic):

$$\begin{gathered} P_{∆AFH}=\frac{1}{2}xy\sin \alpha \\ 26,4=\frac{1}{2}xy\frac{12}{13} \\ \mathit{x}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{57}\mathbf{,}\mathbf{2} \end{gathered}$$

Wykorzystując jedynkę trygonometryczną obliczmy $\cos \alpha$:

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \sin \alpha =\frac{12}{13} \\ {\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1 \\ {\cos }^2\alpha =1-\frac{144}{169} \\ {\cos }^2\alpha =\frac{25}{169} \\ \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\alpha }\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{13}}\mathbf{ } v \cos \alpha =-\frac{5}{13} \end{gathered}$$

Wiemy, że kąt $\alpha$ jest ostry, dlatego wybieramy dodatnią wartość cosinusa.

Wykorzystajmy teraz twierdzenie cosinusów (wzór w tablicach):

$d^2=x^2+y^2-2xy\cos \alpha$

Podstawmy wypisane na początku założenia, wyliczonego cosinusa i wyliczony xy:

$$\begin{gathered} a^2+b^2=h^2+a^2+h^2+b^2-2\times 57,2\times \frac{5}{13} \\ 0=2h^2-\frac{572}{13} \\ 2h^2=\frac{572}{13} \\ 2h^2=44 \\ {h}^2=22 \\ \mathit{h}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{22}} v h=-\sqrt{22} \end{gathered}$$

Oczywiście ujemną wartość odrzucamy.