Zadanie nr. 14 matura z matematyki 2022 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Zróbmy przykładowy rysunek pomocniczy, zaznaczając punkty oraz prostą y:

Przekształcamy wzór na prostą y:

$$\begin{gathered} y=x-1 \\ 0=x-y-1 \end{gathered}$$

$A(-3; 2)$

Wykorzystując wzór z tablic na odległość punktu od prostej obliczymy długość h:

$$\begin{gathered} \frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ h=\frac{\left|1\times \left(-3\right)-1\times 2-1\right|}{\sqrt{1+{\left(-1\right)}^2}} \\ h=\frac{\left|-3-2-1\right|}{\sqrt{2}} \\ h=\frac{6}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \mathit{h}\mathbf{=}\frac{6\sqrt{2}}{2}=\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

Wiemy, że $P_{△ABC}=15$, podstawmy zatem dane do wzoru:

$$\begin{gathered} P_{△ABC}=\frac{1}{2}\times \left|CB\right|\times h \\ 15=\frac{1}{2}\times \left|CB\right|\times 3\sqrt{2} \\ 30=\left|CB\right|\times 3\sqrt{2} \\ \left|CB\right|=\frac{10}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \left|CB\right|\mathbf{=}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left|AC\right| \end{gathered}$$

Zastanówmy się teraz nad punktem C. Współrzędne to $C=\left(x_c ; y_c\right)$. Wykorzystując wzór $y=x-1$, możemy napisać, że $C=\left(x_c ; x_c-1\right)$.

Następnie wykorzystując wzór z tablic na długość odcinka napiszemy:

$$\begin{gathered} \left|AC\right|=\sqrt{{\left(x_c-x_a\right)}^2+{\left(y_c-y_a\right)}^2} \\ 5\sqrt{2}=\sqrt{{\left(x_c+3\right)}^2+{\left(x_c-1-2\right)}^2} /{}^2 \\ 50={\left(x_c+3\right)}^2+{\left(x_c-1-2\right)}^2 \\ 50={x_c}^2+6x_c+9+{x_c}^2-6x_c+9 \\ 2{x_c}^2=32 \\ {x_c}^2=16 \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{c}\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{v}\mathbf{ }{\mathit{x}}_{\mathbf{c}\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4} \\ więc \\ {\mathit{y}}_{\mathbf{c}\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{v}\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathit{y}}_{\mathbf{c}\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5} \end{gathered}$$

Podobnie zróbmy z punktem B:

$$\begin{gathered} B=\left(x_b; y_b\right) \\ B=\left(x_b; x_b-1\right) \\ \left|CB\right|=\sqrt{{\left(x_b-x_c\right)}^2+{\left(y_b-y_c\right)}^2} \end{gathered}$$

Rozpatrujemy dwa przpadki; $1° gdy C=(4;3) i 2° gdy C=\left(-4;-5\right)$

$$\begin{gathered} 1° \\ \left|CB\right|=\sqrt{{\left(x_b-4\right)}^2+{\left(x_b-1-3\right)}^2} \\ 5\sqrt{2}=\sqrt{{\left(x_b-4\right)}^2+{\left(x_b-4\right)}^2} \\ 50={x_b}^2-8x_b+16+{x_b}^2-8x_b+16 \\ {2x_b}^2-16x_b-18=0 \\ {x_b}^2-8x_b-9=0 \\ 0=\left(x_b-9\right)\left(x_b+1\right) \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{b}\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{v}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathit{x}}_{\mathbf{b}\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1} \\ {\mathit{y}}_{\mathbf{b}\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{v}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathit{y}}_{\mathbf{b}\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2} \\ 2° \\ \left|CB\right|=\sqrt{{\left(x_b+4\right)}^2+{\left(x_b-1+5\right)}^2} \\ 5\sqrt{2}=\sqrt{{\left(x_b+4\right)}^2+{\left(x_b+4\right)}^2} \\ 50={x_b}^2+8x_b+16+{x_b}^2+8x_b+16 \\ {2x_b}^2+16x_b-32=0 \\ {x_b}^2+8x_b-16=0 \\ 0=\left(x_b+9\right)\left(x_b-1\right) \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{b}\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{v}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathit{x}}_{\mathbf{b}\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{1} \\ {\mathit{y}}_{\mathbf{b}\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{v}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathit{y}}_{\mathbf{b}\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{0} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1. \\ B=(9;8) \\ C=(4;3) \\ 2. \\ B=(-1;-2) \\ C=\left(4;3\right) \\ 3. \\ B=(-9;-10) \\ C=(-4;-5) \\ 4. \\ B=(1;0) \\ C=(-4;-5) \end{gathered}$$