Zadanie nr. 12 matura z matematyki 2022 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wypisujemy założenia:

$$\begin{gathered} 1° ∆>0 \\ ∆={\left(-m-1\right)}^2-4\times 1\times m \\ ∆=m^2+2m+1-4m \\ ∆=m^2-2m+1 \\ ∆={\left(m-1\right)}^2 \\ {\left(m-1\right)}^2>0 \\ \mathit{m}\mathbf{\in }\mathbf{ℝ}\mathbf{\backslash }\mathbf{ }\left\{1\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2° x_1\ne 0 i x_2\ne 0 \\ Czyli \mathit{m}\mathbf{\ne }\mathbf{0} \end{gathered}$$

Miejsce zerowe w funkcji kwadratowej bedzie zerem, gdzy wyraz wolny będzie równy 0. Wyraz wolny w naszej funkcji to m, zatem aby $x_1\ne 0 i x_2\ne 0$, to $m\ne 0$.

$3° \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{{x_1}^2}+\frac{1}{{x_2}^2}$

Do rozwiązania tego założenia wykorzystamy wzory Viete'a. Na początku sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i porządkujemy wyrażenia:

$$\begin{gathered} \frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}+2=\frac{{x_2}^2}{{x_1}^2{x_2}^2}+\frac{{x_1}^2}{{x_1}^2{x_2}^2} \\ \frac{x_2+x_1}{x_1{x}_2}+2=\frac{{x_2}^2+{x_1}^2}{{x_1}^2{x_2}^2} \\ \frac{x_2+x_1}{x_1{x}_2}+2=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2} \\ \frac{-{\displaystyle \frac{b}{a}}}{{\displaystyle \frac{c}{a}}}+2=\frac{{\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^2-2\times {\displaystyle \frac{c}{a}}}{{\left({\displaystyle \frac{c}{a}}\right)}^2} \\ a=1, więc otrzymujemy \\ \frac{-b}{c}+2=\frac{{\left(-b\right)}^2-2c}{c^2} \\ b=-m-1 c=m \\ \frac{m+1}{m}+2=\frac{{\left(m+1\right)}^2-2m}{m^2} \\ \frac{3m+1}{m}=\frac{m^2+1}{m^2} /\times m^2 \\ 3m^2+m=m^2+1 \\ 2m^2+m-1=0 \\ {∆}_2=1+8=9 \\ \sqrt{∆}=3 \\ {m}_1=\frac{-1-3}{4}=\mathbf{-}\mathbf{1} \\ {m}_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

Dla pewności na końcu zawsze sprawdzamy nasze rozwiązania z założeniami. W tym przypadku oba rozwiązania należą do dziedziny, więc  $m_{1 }i m_2$ to ostateczna odpowiedź.