Zadanie nr. 32 matura z matematyki 2018 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Ponieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu $y=2x+3$więc jego współrzędne zapisujemy następująco: 

$C=(x,2x+3)$

Punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że 

$|AB{|}^2+|BC{|}^2=|AC{|}^2$

Po podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie

$\begin{array}{rl}|AB{|}^2+|BC{|}^2& =|AC{|}^2\\ (10-4{)}^2+(5-3{)}^2+(10-x{)}^2+(5-2x-3{)}^2& =(4-x{)}^2+(3-2x-3{)}^2\\ 36+4+100-20x+x^2+4-8x+4x^2& =16-8x+x^2+4x^2\\ 144-20x& =16\\ 20x& =128\\ x& =\frac{128}{20}=\frac{32}{5}.\\ y& =2x+3=\frac{64}{5}+\frac{15}{5}=\frac{79}{5}.\\ C& =\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right).\end{array}$