Zadania z matematyki

Rozwiąż zadanie

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta l o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^2-7x+1$ w punktach A oraz B. Odcinek AB jest średnicą okręgu O. Punkt C leży na okręgu O nad prostą l, a kąt BAC jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $tg\alpha =\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu C. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż zadanie

Rozważamy trójkąty ABC, w których A= (0, 0), B = (m, 0), gdzie $m\in (4;\infty )$, a wierzchołek C leży na prostej o równaniu $y=-2x$. Na boku BC tego trójkąta leży punkt D =(3, 2).

a) Wykaż, że dla $m\in (4;\infty )$ pole P trójkąta ABC, jako funkcja zmiennej m, wyraża się wzorem $P\left(m\right)=\frac{m^2}{m-4}$

b) Oblicz tę wartość m, dla której funkcja P osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej BC, przy której funkcja P osiąga tę najmniejszą wartość.

Rozwiąż zadanie

Punkt A=( -3; 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|$. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu $y=x-1$.

Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Rozwiąż zadanie

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem $P\left(b\right)=\frac{\left(18-2b\right) \sqrt{18b-81}}{2}$.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Rozwiąż zadanie

Prosta przechodząca przez punkty A = (8, −6) i B = (5, 15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O = (0, 0).

Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Rozwiąż zadanie

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę. 

Rozwiąż zadanie

Dane są parabola o równaniu $y=x^2$ oraz punkty A= (0, 2) i B= (1, 3) (zobacz rysunek).

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny. 

Rozwiąż zadanie

Punkty A = (−20, 12) i B = (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|$. Wierzchołek C leży na osi Oy układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta. 

Rozwiąż zadanie

Prosta o równaniu $x+y-10=0$ przecina okrąg o równaniu $x^2+y^2-8x-6y+8=0$ w punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu

tego okręgu w jednokładności o środku S i skali $k=-3$. 

Rozwiąż zadanie

Punkt A = (7, -1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|$ . Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w

trójkąt ABC ma równanie $x^2+y^2=10$ . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.