Zadanie nr. 34 matura z matematyki 2017 poziom podstawowy termin dodatkowy

Rozwiązanie

Graniastosłup

$\left|AC\right|=d_1, \left|BD\right|=d_2$ - przekątne rombu w podstawie, $H$ - wysokość graniastosłupa

Z trójkąta prostokątnego $ACC\text{'}$:

$$\begin{gathered} \sin 30°=\frac{H}{8} \\ \frac{1}{2}=\frac{H}{8} /·8 \\ 4=H \\ \cos 30°=\frac{d_1}{8} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{d_1}{8} /·8 \\ 4\sqrt{3}=d_1 \end{gathered}$$

Z trójkąta prostokątnego $BDD\text{'}$:

$$\begin{gathered} tg45°=\frac{H}{d_2} \\ 1=\frac{4}{d_2} /·d_2 \\ {d}_2=4 \end{gathered}$$

Romb $ABCD$ w podstawie

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DCS$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{2}{d}_1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}{d}_2\right)}^2=a^2 \\ \frac{1}{2}{d}_1=\frac{1}{2}·4\sqrt{3}=2\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}{d}_2=\frac{1}{2}·4=2 \\ {\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2=a^2 \\ 4·3+4=a^2 \\ 12+4=a^2 \\ {a}^2=16 \\ a=4 \end{gathered}$$

Podstawy tego graniastosłupa to dwa przystające romby o polach

$$\begin{gathered} P_p=\frac{d_1·d_2}{2}= \\ =\frac{4\sqrt{3}·4}{2}= \\ =\frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3} \end{gathered}$$

Romb ma boki o równej długości $a$, więc ściany boczne graniastosłupa to cztery przystające proskąty o polu

$P_s=a·H=4·4=16$

Powierzchnia boczna graniastosłupa

$P_b=4P_s=4·16=64$

Powierzchnia całkowita graniastosłupa

$$\begin{gathered} P_c=2P_p+P_b=2·8\sqrt{3}+64= \\ =16\sqrt{3}+64=16\left(\sqrt{3}+4\right) \end{gathered}$$