Zadanie nr. 34 matura z matematyki 2019 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Uzupełniamy rysunek o dodatkowe oznaczenia:

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $BES$:

$$\begin{gathered} h^2+3^2=b^2 \\ {h}^2=b^2-9 \\ h=\sqrt{b^2-9}. \end{gathered}$$

Z warunku , że pole powierzchni całkowitej jest cztery razy większe od pola podstawy graniastosłupa, otrzymujemy równanie:

$$\begin{gathered} 6^2+4·\frac{1}{2}·6·h=4·6^2 \\ 36+12\sqrt{b^2-9}=4·36 \\ 12\sqrt{b^2-9}=3·36 \\ \sqrt{b^2-9}=9 \\ {b}^2-9=81 \\ {b}^2=90 \\ b=\sqrt{90} \\ b=3\sqrt{10}. \end{gathered}$$

Odcinek $AO$ jest polową przekątnej kwadratu o boku 6, zatem

$\left|AO\right|=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.$

W trójkącie $AOS$:

$\cos \alpha =\frac{\left|AO\right|}{b}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$