Zadanie nr. 33 matura z matematyki 2019 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Wyznaczamy równanie prostej $AB.$

Prosta $AB$ jest prostopadła do danej prostej $y=3x,$ więc jej współczynnik kierunkowy $a$ spełnia warunek

$$\begin{gathered} a·3=-1 \\ a=-\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

Prosta $AB$ ma zatem równanie $y=-\frac{1}{3}x+b.$

Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając do powyższego równania współrzędne punktu $A$:

$$\begin{gathered} -\frac{1}{3}·\left(-18\right)+b=10 \\ 6+b=10 \\ b=4. \end{gathered}$$

Otrzymujemy $y=-\frac{1}{3}x+4.$

Oznaszamy przez $S$ środek odcinka $AB$. Współrzędne punktu $S$ są rozwiązaniem układu równań:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y=3x\\ y=-\frac{1}{3}x+4\end{array}\right. \\ 3x=-\frac{1}{3}x+4 \\ 3x+\frac{1}{3}x=4/·3 \\ 9x+x=12 \\ x=\frac{12}{10}=\frac{6}{5} \\ y=3x=3·\frac{6}{5}=\frac{18}{5} \\ S=\left(\frac{6}{5},\frac{18}{5}\right). \end{gathered}$$

Wiedząc, że $S$ jest środkiem odcinka $AB$, wyznaczamy współrzędne $x_B, y_{B }$punktu $B:$

$$\begin{gathered} \frac{-18+x_B}{2}=\frac{6}{5}, \frac{10+y_B}{2}=\frac{18}{5} \\ -18+x_B=\frac{12}{5}, 10+y_B=\frac{36}{5} \\ {x}_B=20\frac{2}{5}, y_B=-2\frac{4}{5}. \\ B=\left(20,4;-2,8\right). \end{gathered}$$