Zadanie nr. 32 matura z matematyki 2018 poziom podstawowy termin dodatkowy

Rozwiązanie

H = 16   $\cos \alpha =\frac{3}{5}$

$$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{x}{b} \\ \frac{3}{5}=\frac{x}{b} \\ 3b=5x /:3 \\ b=\frac{5}{3}x \end{gathered}$$

Z twierdzenia pitagorasa:

$$\begin{gathered} x^2+H^2=b^2 \\ {x}^2+{16}^2=(\frac{5}{3}x{)}^2 \\ {x}^2+256=\frac{25}{9}{x}^2 /·9 \\ 9x^2+2304=25x^2 \\ 2304=16x^2 /:16 \\ {x}^2=144 \\ x=12 \\ b=\frac{5}{3}x=\frac{5}{\cancel{3_1}}·\cancel{{12}_4}=20 \end{gathered}$$

Długość przekątnej d kwadratu w podstawie:

$d=2x=2·12=24$

Długość boku a kwadratu w podstawie

$$\begin{gathered} d=24 \\ a\sqrt{2}=24 /\sqrt{2} \\ a=\frac{24}{\sqrt{2}} \\ a=\frac{24}{\sqrt{2}}·\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{24\sqrt{2}}{2} \\ a=12\sqrt{2} \end{gathered}$$

Ściany boczne tego ostrosłupa to cztery przystające trójkąty równoramienne

Z twierdzenia putagorasa wysokość:

$$\begin{gathered} h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2 \\ {h}^2{\left(\frac{12\sqrt{2}}{2}\right)}^2={20}^2 \\ {h}^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2=400 \\ {h}^2+36·2=400 \\ {h}^2+72=400 \\ {h}^2=328 \\ h=\sqrt{328}=\sqrt{4·82} \\ h=2\sqrt{82} \end{gathered}$$

Pole ściany bocznej:

$$\begin{gathered} P_s=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{{\cancel{2}}_1}·12\sqrt{2}·\cancel{2_1}\sqrt{82}= \\ =12\sqrt{164}=12\sqrt{4·41}=24\sqrt{41} \end{gathered}$$

Pole boczne:

$P_b=4P_s=4·24\sqrt{41}=96\sqrt{41}$