Zadanie nr. 12 matura z matematyki 2019 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Napiszmy jak wygląda iloraz ciągu geometrycznego:

$q=\frac{{\displaystyle \frac{2}{3b}}}{{\displaystyle \frac{1}{a}}}=\frac{2}{3b}\times \frac{a}{1}=\frac{2a}{3b}$

Wykorzystajmy teraz wzory na środkowy wyraz ciągu geometrycznego i arytmetycznego, tworząc układ równań:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}b=\frac{a+c}{2} \Rightarrow c=2b-a\\ {\left(\frac{2}{3b}\right)}^2=\frac{1}{a}\times \frac{1}{2a+2b+c}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}c=2b-a\\ \frac{4}{9b^2}=\frac{1}{a\left(2a+2b+2b-a\right)}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}c=2b-a\\ \frac{4}{9b^2}=\frac{1}{a\left(a+4b\right)}\end{array}\right. \\ \frac{4}{9b^2}=\frac{1}{a^2+4ba} \\ 4a^2+16ba=9b^2 \\ 4a^2+16ba-9b^2=0 \\ {∆}_a={16}^2{b}^2-4\times 4\times \left(-9b^2\right)=16b^2+16\times 9b^2=16b^2\left(16+9\right)=16b^2\times 25 \\ \sqrt{{∆}_a}=4b\times 5=20b \\ {a}_1=\frac{-16b-20b}{8}=\frac{-36b}{8}<0, więc odrzucamy (wyrazy są dodatnie) \\ {a}_2=\frac{-16b+20b}{8}=\frac{4b}{8}=\frac{1}{2}b \end{gathered}$$

Wracamy do ilorazu:

$\mathit{q}\mathbf{=}\frac{2a}{3b}=\frac{2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}b}{3b}=\frac{b}{3b}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$