Zadanie nr. 13 matura z matematyki 2019 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wykorzystajmy własności wielomianów oraz podane informacje:

$$\begin{gathered} W\left(2\right)=0 \\ 2\times 2^3+\left(m^3+2\right)2^2-11\times 2-2\left(2m+1\right)=0 \\ 16+4m^3+8-22-4m-2=0 \\ 4m^3-4m=0 \\ 4m\left(m^2-1\right)=0 \\ 4m\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0 \\ {m}_1=0 v m_2=1 v m_3=-1 \\ W(-1)=6 \\ 2\times {\left(-1\right)}^3+\left(m^3+2\right){\left(-1\right)}^2-11\times \left(-1\right)-2\left(2m+1\right)=6 \\ -2+m^3+2+11-4m-2=6 \\ {m}^3-4m+3=0 \\ dla m=0 0-0+3=3\ne 0 \\ \mathit{d}\mathit{l}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ dla m=-1 -1+4+3=6\ne 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} m=1 \\ W\left(x\right)=W\left(x\right)=2x^3+3x^2-11x-6 \end{gathered}$$

Musimy teraz obliczyć  $W\left(x\right)\le 0$.  Poszukajmy miejsc zerowych wśród dzielników wyrazu wolnego.

$$\begin{gathered} W\left(1\right)=2+3-11-6\ne 0 \\ W(-1)=-2+3+11-6\ne 0 \\ \mathit{W}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\mathbf{=}16+12-22-6=\mathbf{0} \end{gathered}$$

Wykorzystujemy schemat Hornera:

Otrzymaliśmy $(2x^2+7x+3)$

$$\begin{gathered} ∆=7^2-4\times 2\times 3=49-24=25 \\ \sqrt{∆}=5 \\ {x}_1=\frac{-7-5}{4}=\frac{-12}{4}-3 \\ {x}_2=\frac{-7+5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Rysujemy wykres: