Zadanie nr. 1 matura z matematyki 2019 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Zmieniamy podstawę pierwszego logarytmu (wzór z tablic):

$$\begin{gathered} {\log }_{\frac{1}{x}}y=\frac{{\log }_{{\displaystyle \frac{1}{y}}}\left(y\right)}{{\log }_{{\displaystyle \frac{1}{y}}}\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}=\frac{-1}{{\log }_{\frac{1}{y}}\left(\frac{1}{x}\right)}=\frac{-1}{{\log }_{\frac{1}{y}}{\left(x\right)}^{-1}}=\frac{-1}{-1\times {\log }_{\frac{1}{y}}\left(x\right)}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{l}\mathbf{o}{\mathbf{g}}_{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{y}}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}} \\ \frac{1}{{\log }_{\frac{1}{\mathrm{y}}}x}\times \left({\log }_{\frac{1}{y}}x\right)=\frac{1}{{\log }_{\frac{1}{\mathrm{y}}}x}\times \frac{{\log }_{\frac{1}{y}}x}{1}=\mathbf{1} \end{gathered}$$