Zadanie nr. 10 matura z matematyki 2020 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wiemy, że $(a_1, a_2, a_3)$- ciąg geometryczny.

Oznaczmy sobie $\left(b_n\right)$- ciąg arytmetyczny.

Z danych z treści zadania możemy napisać:

$$\begin{gathered} a_3=b_1 \\ {a}_2=b_2 \\ {a}_1=b_4 \end{gathered}$$

Wykorzystujemy własności ciągu arytmetycznego:

$$\begin{gathered} b_2=a_3+r \\ {b}_4=a_3+3r \end{gathered}$$

Wykorzystajmy teraz informację o sumie wyrazów:

$$\begin{gathered} a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4} \\ {a}_3+3r+a_3+r+a_3=\frac{21}{4} \\ 3a_3+4r=\frac{21}{4} \end{gathered}$$

Wykorzystujemy wzór z tablic dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego:

$$\begin{gathered} {a_2}^2=a_1\times a_3 \\ {\left(a_3+r\right)}^2=\left(a_3+3r\right)\times a_3 \\ {a_3}^2+2a_{3}r+r^2={a_3}^2+3a_{3}r \\ {r}^2-a_{3}r=0 \\ r\left(r-a_3\right)=0 \\ r=0 v \mathit{r}\mathbf{=}{\mathit{a}}_{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

Odrzucamy $r=0$, ponieważ mamy informację, że ciąg jest rosnący.

Podstawmy wyliczone r:

$$\begin{gathered} 3a_3+4r=\frac{21}{4} dla r=a_3 \\ 3a_3+4a_3=\frac{21}{4} \\ 7a_3=\frac{21}{4} \\ 28a_3=21 \\ {a}_3=\frac{21}{28} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathit{r} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_1=\frac{3}{4}+3\times \frac{3}{4} \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=\frac{12}{4}=\mathbf{3} \end{gathered}$$