Zadanie nr. 4 matura z matematyki 2020 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Spróbujmy przekształcić podane wyrażenie.

$$\begin{gathered} {\left(x\sqrt{2}+y\sqrt{3}\right)}^2=2x^2+2xy\sqrt{6}+3y^2 \\ {\left(x\sqrt{2}+y\sqrt{3}\right)}^4=\left(2x^2+2xy\sqrt{6}+3y^2\right)\left(2x^2+2xy\sqrt{6}+3y^2\right) \end{gathered}$$

Zajmijmy się teraz tylko mnożeniami, dzięki którym otrzymamy  $x^2{y}^2$, czyli:

$$\begin{gathered} 2x^2\times 3y^2=6x^2{y}^2 \\ 3y^2\times 2x^2=6x^2{y}^2 \\ 2xy\sqrt{6}\times 2xy\sqrt{6}=24x^2{y}^2 \\ 6x^2{y}^2+6x^2{y}^2+24x^2{y}^2=36x^2{y}^2 \\ \mathit{c}\mathbf{=}\mathbf{36} \end{gathered}$$