Zadanie nr. 34 matura z matematyki 2020 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy

$$\begin{gathered} tg\alpha =\frac{H}{{\displaystyle \frac{1}{2}}a} tg\alpha =\sqrt{7} \\ \sqrt{7}=\frac{H}{{\displaystyle \frac{1}{2}a}} \\ \sqrt{7}\times \frac{1}{2}a=H \\ \frac{\sqrt{7}a}{2}=H \end{gathered}$$

Zwróćmy teraz uwagę na pomarańczowy trójkąt

Podstawa tego trójkąta to połowa przekątnej kwadratu o boku a, który jest w podstawie ostrosłupa. Możemy więc napisać, że podstawa tego trójkąta ma długość $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa oraz wyliczone H możemy napisać:

$$\begin{gathered} H^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=6^2 \\ {\left(\frac{\sqrt{7}a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=6^2 \\ \frac{7a^2}{4}+\frac{2a^2}{4}=36 \\ \frac{9a^2}{4}=36 \\ 9a^2=144 \\ {a}^2=16 \\ \mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{ } v a=-4 \end{gathered}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy.

Podstawmy wyliczone a do wzoru na H:

$$\begin{gathered} H=\frac{\sqrt{7}a}{2} \\ \mathit{H}\mathbf{=}\frac{4\sqrt{7}}{2}=\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{7}} \end{gathered}$$

Znamy już bok podstawy oraz wysokość ostrosłupa, możemy więc przejść do obliczenia objętości:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}{P}_p\times H \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}{a}^2=4^2=\mathbf{16} \\ V=\frac{1}{3}\times 16\times 2\sqrt{7} \\ \mathit{V}\mathbf{=}\frac{\mathbf{32}\sqrt{\mathbf{7}}}{\mathbf{3}} \end{gathered}$$