Zadanie nr. 26 matura z matematyki 2022 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Przypomnijmy sobie, że kwadrat o boku a, ma przekątną równą $a\sqrt{2}$.

Zatem możemy napisać:

$$\begin{gathered} \left|EG\right|=\left|BG\right|=\left|BE\right|=a\sqrt{2} \\ \left|EF\right|=\left|FG\right|=\left|BF\right|=a \end{gathered}$$

Powinniśmy zauważyć, że w podstawie ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt{2}$, zatem obliczmy pole podstawy:

 $$\begin{gathered} P_p=\frac{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{4} \\ {P}_p=\frac{a^{2}2\sqrt{3}}{4} \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

Pole boczne ostrosłupa to trzy trójkąty prostokąte o podstawie a i wysokości h=a. Napiszmy więc wzór na pole boczne:

$$\begin{gathered} P_b=3\times \frac{1}{2}\times a\times a \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

Obliczmy pole całkowite:

$$\begin{gathered} P_c=P_p+P_b \\ {P}_c=\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}{a}^2 \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }{\mathit{a}}^{\mathbf{2}} \end{gathered}$$