Zadanie nr. 3 matura z matematyki 2023 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Zwróćmy uwagę na czworokąt ABCD. Zbwłasności czworokąta wpisanego w okrąg możemy napisać, że

$$\begin{gathered} \left|\sphericalangle BAD\right| +\left|\sphericalangle BCD\right|=180° \\ więc \left|\sphericalangle BAD\right| +110°=180° \\ \left|\sphericalangle BAD\right|\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{70}\mathbf{°} \end{gathered}$$

Kąt BED jest oparty na tym samym łuku co kąt BAD, więc mają taką samą miarę.

$\left|\sphericalangle BED\right|\mathbf{=}\mathbf{70}\mathbf{°}$

Następnie powinniśmy zauważyć, że kąt BES jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt BAD, dlatego

$\left|\sphericalangle BES\right|=2\times \left|\sphericalangle BAD\right|=2\times 70°=\mathbf{140}\mathbf{°}$

Kąt wklęsły BSD możemy obliczyć jako $\left|\sphericalangle BSD\right|=360°-140°=\mathbf{220}\mathbf{°}$

Kąt AEB oparty jest na tym samym łuku co kąt ADB, więc $\left|\sphericalangle AEB\right|\mathbf{=}\mathbf{35}\mathbf{°}$

Łączymy zebrane informacje i  wyliczamy kąt DEA:

$\left|\sphericalangle DEA\right|=\left|\sphericalangle AEB\right|+\left|\sphericalangle BED\right|=35°+70°=\mathbf{105}\mathbf{°}$