Zadanie nr. 28 matura z matematyki 2018 poziom podstawowy termin dodatkowy

Rozwiązanie

Cztery kolejne liczby naturalne:

n, n+1, n+2, n+3

Suma ich kwadratów:

$$\begin{gathered} n^2+(n+1{)}^2+(n+2{)}^2+(n+3{)}^2= \\ =n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4+n^2+6n+9= \\ =4n^2+12n+14=4n^{2}12n+8+6= \\ =4(n^2+3n+2)+6=(*) \\ Obliczamy delte \\ ∆=3^2-4·1·2=9-8=1 \\ \sqrt{∆}=\sqrt{1}=1 \\ {x}_1=\frac{-3+1}{2}-=-2 \\ {x}_2=\frac{-3+1}{2}=1 \\ Postać iloczynowa: \\ (n-(-2)\left)\right(n-(-1))= \\ =(n+2\left)\right(n+1\left) \\ \right(*)=4(n+2\left)\right(n+1)+6= \\ =4(n+1\left)\right(n+2)+6=(*) \end{gathered}$$

Iloczyn (n+1)(n+2) możemy zapisać jako 2k, gdzie k jest pewną liczbą naturalną, ponieważ n+1 i n+2 są dwoma kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta, a więc ich iloczyn również jest parzysty 

$(*)=4·2k+6=8k+6$

Sumę kwadratów czterech kolejnych lib naturalnych można zapisać w postaci 8k+6, co oznacz, że ta suma przy dzieleniu przez 8 daje resztę 6