Zadanie nr. 14 matura z matematyki 2020 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Na samym początku rozwiązywania teg zadania przypomnijmy sobie pewną własność. W treści mamy podaną informację, że każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z

płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$. Powinniśmy pamiętać, że jeśli mamy taką sytuację, to w podstawę można wpisać okrąg, a wtedy (wzór z tablic) suma długości przeciwległych

boków tego trapezu jest sobie równa.

Wykonajmy poglądowy rysunek podstawy

Wykorzystujemy wcześniej wymienioną własność i zapisujemy, że 

$\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}\mathbf{=}10+16=\mathbf{26}$

Wyliczmy h wykorzystując własności trójkąta $30°,60°, 90°$:

$$\begin{gathered} h=\frac{1}{2}\times 16 \\ \mathit{h}\mathbf{=}\mathbf{8} \end{gathered}$$

Możemy teraz obliczyć pole podstawy:

$P_p=\frac{\left(a+b\right)\times h}{2}=\frac{26\times 8}{2}=\mathbf{104}$

Idąc dalej musimy obliczyć wysokość naszego ostrosłupa. Wykonajmy rysunek pomocniczy wykorzystując dane z treści zadania i wcześniej wyliczone wartości

$$\begin{gathered} tg\alpha =\frac{9}{2} \\ \frac{H}{4}=\frac{9}{2} \\ 2H=36 \\ \mathit{H}\mathbf{=}\mathbf{18} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}{P}_p\times H \\ V=\frac{1}{3}\times 104\times 18 \\ \mathit{V}\mathbf{=}\mathbf{624} \end{gathered}$$