Zadanie nr. 6 matura z matematyki 2020 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Na początku narysujmy sobie wykres $\left|x-5\right|$

Gdyby ${\left(a-1\right)}^2-4<0$, to sytuacja by wyglądała na przykład 

Czyli równanie $\left|x-5\right|={\left(a-1\right)}^2-4$ nie miałoby rozwiązań.

Gdyby  ${\left(a-1\right)}^2-4=0$, to sytuacja by wyglądała następująco 

Czyli nasze równanie $\left|x-5\right|={\left(a-1\right)}^2-4$ miałoby jedno rozwiązanie.

Gdyby ${\left(a-1\right)}^2-4>0$, to sytuacja mogłaby wyglądać na przykład tak

Czyli nasze równanie  $\left|x-5\right|={\left(a-1\right)}^2-4$  miałoby 2 rozwiązania.

Dodatkowo mamy podaną informację, że oba rozwiązania mają być dodatnie. Zaznaczmy sobie interesujące nas zdarzenie na wykresie.

$$\begin{gathered} 0<{\left(a-1\right)}^2-4<5 \\ 1° {\left(a-1\right)}^2-4>0 \\ {a}^2-2a+1-4>0 \\ {a}^2-2a-3>0 \\ ∆={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times \left(-3\right)=4+12=16 \\ \sqrt{∆}=4 \\ {a}_1=\frac{-\left(-2\right)-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\ {a}_2=\frac{-\left(-2\right)+4}{2}=\frac{6}{2}=3 \end{gathered}$$

$a\in \left(-\infty ; -1\right)\cup \left(3;\infty \right)$

$$\begin{gathered} 2° {\left(a-1\right)}^2-4<5 \\ {a}^2-2a+1-4<5 \\ {a}^2-2a-8<0 \\ ∆={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times \left(-8\right)=4+32=36 \\ \sqrt{∆}=6 \\ {a}_3=\frac{-\left(-2\right)-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\ {a}_4=\frac{-\left(-2\right)+6}{2}=\frac{8}{2}=4 \end{gathered}$$

$a\in \left(-2;4\right)$

Łączymy otrzymane przedziały

$Odp. \mathit{a}\mathbf{\in }\left(-2;-1\right)\mathbf{\cup }\left(3;4\right)$