Zadanie nr. 28 matura z matematyki 2020 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Przekształćmy podaną nierówność tak, abyśmy mogli wykorzystać wzór skróconego mnożenia:

$$\begin{gathered} a\left(a-2b\right)+2b^2>0 \\ {a}^2-2ab+2b^2>0 \\ {a}^2-2ab+b^2+b^2>0 \\ {\left(a-b\right)}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{>}\mathbf{0} \end{gathered}$$

Z treści zadania wiemy, a i b to różne liczby, więc ich różnica na pewno nie będzie wynosić zero, a każda (dodatnia lub ujemna) liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. Wiemy więc, że ${\left(a-b\right)}^2>0$. Podobnie stwierdzamy, że $b^2$ będzie dodatnie lub ewentualnie równe zero, gdyby b=0.

Suma dwóch liczb dodatnich, ewentualnie suma liczby dodatniej i zera zawsze daje wynik dodatni co należało udowodnić.