Zadanie nr. 15 matura z matematyki 2021 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Pamiętamy, że prostopadłościan jest otwarty od góry.

Wypiszmy założenia:

$$\begin{gathered} 0<a\le 9 \\ 0<b\le 9 \end{gathered}$$

Wiemy, że

 $a^2\times b=144, więc b=\frac{144}{a^2}$

Pamiętamy o założeniu 

$$\begin{gathered} \frac{144}{a^2}\le 9 /\times a^2 (bo a^2>0) \\ 144\le 9a^2 \\ {a}^2\ge 16 /\sqrt{} (wiemy, że a>0) \\ \mathit{a}\mathbf{\ge }\mathbf{4} \\ Czyli \mathit{a}\mathbf{\in }<4;9> \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Koszt= a^2\times 100+4\times ab\times 75=100a^2+300ab=100a^2+300a\times \frac{144}{a^2}=100a^2+\frac{43200}{a}= \\ \frac{100a^3+43200}{a}=100\times \frac{a^3+432}{a}=K\left(a\right) \end{gathered}$$

Liczymy pochodną:

$K\text{'}\left(a\right)=100\times \frac{3a^2\times a-\left(a^3+432\right)\times 1}{a^2}=100\times \frac{2a^3-432}{a^2}$

Przyrównujemy pochodną do zera:

$$\begin{gathered} 100\times \frac{2a^3-432}{a^2}=0 \\ 2a^3-432=0 \\ {a}^3=216 \\ \mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{6} \end{gathered}$$

Wracamy do obliczenia wymiarów zbiornika:

$$\begin{gathered} \mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{6} \\ \mathit{b}\mathbf{=}\frac{144}{6^2}=\frac{144}{36}=\mathbf{4} \end{gathered}$$

Koszt wykonania będzie najmniejszy dla zbiornika o wymiarach $6m\times 6m\times 4m$.