Zadanie nr. 5 matura z matematyki 2023 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Cenną wskazówką do rozwiązania tego zadania okazuje się informacja, że nasz pierwiastek ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, czyli nie będzie to liczba całkowita. 

Zapewne będzie to jakiś pierwiastek.

Aby znaleźć taki pierwiastek wykorzystujemy metodę, w której bierzemy pod uwagę dzielniki, w naszym przypadku skupimy się na dzielnikach 7 i 2.

Sprawdźmy więc czy np. $\frac{2}{7}$ lub $-\frac{2}{7}$to pierwiastek naszego równania: 

$$\begin{gathered} W\left(x\right)=7x^3-9x^2+9x-2 dla x=\frac{2}{7} \\ W\left(x\right)=7\times {\left(\frac{2}{7}\right)}^3-9\times {\left(\frac{2}{7}\right)}^2+9\times \frac{2}{7}-2 \\ W\left(x\right)=7\times \frac{8}{343}-9\times \left(\frac{4}{49}\right)+\frac{18}{7}-2 \\ W\left(x\right)=\frac{8}{49}-\frac{36}{49}+\frac{126}{49}-\frac{98}{49} \\ \mathit{W}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{0} \end{gathered}$$

Znaleźliśmy więc pierwiastek rzeczywisty naszego równania.

Teraz musimy zapisać jego rozwinięcie dziesiętne i wpisać odpowiedź w tabelkę.

$\frac{2}{7}=0,\mathbf{285}7143$