Zadanie nr. 3 matura z matematyki 2023 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Aby obliczyć styczną do wykresu funkcji potrzebujemy pochodną funkcji ( wykorzystujemy wzór z tablic).

Na samym początku wypisujemy założenia (dziedzinę) funkcji:

$$\begin{gathered} x^2+2x+8\ne 0 \\ △<0 \\ x\in \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

Zajmujemy się teraz pochodną:

$$\begin{gathered} (3x^2-2x)\text{'}=6x-2 \\ (x^2+2x+8)\text{'}=2x+2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{(3x^2-2x)\text{'}\times (x^2+2x+8)-(3x^2-2x)\times (x^2+2x+8)\text{'}}{{(x^2+2x+8)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{(6x-2)\times (x^2+2x+8)-(3x^2-2x)\times (2x+2)}{{(x^2+2x+8)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{(6x^3+12x^2+48x-2x^2-4x-16)-(6x^3+6x^2-4x^2-4x)}{{(x^2+2x+8)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{8x^2+48x-16}{{(x^2+2x+8)}^2} \end{gathered}$$

$P=(x_0;3)$

Podstawmy współrzędne punktu P do wzoru funkcji:

$3=\frac{3{\left(x_0\right)}^2-2x_0}{{\left(x_0\right)}^2+2x_0+8}$

Mnożymy na krzyż i wyliczamy $x_0$:

$$\begin{gathered} 3\left({\left(x_0\right)}^2+2x_0+8\right)=3{\left(x_0\right)}^2-2x_0 \\ 3{\left(x_0\right)}^2+6x_0+24=3{\left(x_0\right)}^2-2x_0 \\ 8x_0=-24 \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3} \end{gathered}$$

Zatem punkt P ma współrzędne P(-3;3)

Podstawiamy teraz dane do wzoru z tablic na współczynnik kierunkowy stycznej $a=f\text{'}\left(x_0\right)$

$$\begin{gathered} a=\frac{8{x_0}^2+48x_0-16}{{({x_0}^2+2x_0+8)}^2} x_0=-3 \\ a=\frac{8\times {\left(-3\right)}^2+48\times \left(-3\right)-16}{{({\left(-3\right)}^2+2\times \left(-3\right)+8)}^2} \\ a=\frac{8\times 9-144-16}{{\left(9-6+8\right)}^2} \\ \mathit{a}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{88}}{\mathbf{121}} \end{gathered}$$

Nastepnie podstawiamy dane do wzoru na równanie stycznej

$$\begin{gathered} y=a\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right) \\ y=\frac{-88}{121}(x-\left(-3\right))+3 \\ y=\frac{-88}{121}\left(x+3\right)+3 \end{gathered}$$

Sprowadzamy wszystko do wspólnego mianownika:

$$\begin{gathered} y=\frac{-88}{121}x-\frac{264}{121}+\frac{363}{121} \\ y=\frac{-88}{121}x+\frac{99}{121} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{11}}\mathit{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{11}} \end{gathered}$$