Zadanie nr. 3 matura z matematyki 2023 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia otrzymujemy:

${\left(2n+1\right)}^2-1=4n^2+4n+1-1=4n^2+4n=\mathbf{4}\mathit{n}\left(n+1\right)$

Powinniśmy zauważyć, że mamy iloczyn 4 oraz kolejnych dwóch liczb naturalnych (n oraz (n+1)). Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez 2.

Mamy zatem liczbę podzielną przez 4 oraz liczbę podzielną przez 2. Z cech podzielności wiemy, że taka liczba jest więc podzielna również przez 8, co należało udowodnić.