Zadanie nr. 16 matura z matematyki 2015 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy przekroju osiowego stożka:

Z danych podanych w treści zadania możemy napisać:

$$\begin{gathered} 2l+2r=20 /÷2 \\ l+r=10 \\ \mathit{l}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{-}\mathit{r} \end{gathered}$$

Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa wyznaczymy h:

$$\begin{gathered} h^2+r^2=l^2 \\ {h}^2+r^2={\left(10-r\right)}^2 \\ {h}^2=100-20r+r^2-r^2 \\ {h}^2=100-20r \\ \mathit{h}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{100}\mathbf{-}\mathbf{20}\mathbf{r}} \end{gathered}$$

Dodatkowo musimy zapisać założenia:

$$\begin{gathered} r>0 \\ l>0 \\ h>0 \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór na objętość naszego stożka:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ V\left(r\right)=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\sqrt{100-20\mathrm{r}} \\ \mathrm{V}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\sqrt{100{\mathrm{r}}^4-20{\mathrm{r}}^5} \\ \mathrm{V}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\sqrt{100{\mathrm{r}}^4-20{\mathrm{r}}^5} \end{gathered}$$

Aby obliczyć największą objętość naszego stożka musimy obliczyć pochodną objętości i przyrównać ją do zera. Pochodna naszej funkcji $V\text{'}\left(r\right)=0$ wtedy, gdy wyrażenie

pod pierwiastkiem jest równe zero. Możemy więc napisać:

 $$\begin{gathered} \left(100r^4-20r^5\right)\text{'}=0 \\ 400r^3-100r^4=0 \\ 100r^3\left(4-r\right)=0 \\ 100r^3=0 v 4-r=0 \\ r=0 -sprzeczne z założeniem v \mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{4} \end{gathered}$$

Musimy teraz pokazać, że V(r) osiąga maksimum dla r=4.

A zatem możemy już przejść do liczenia największej objętości:

$$\begin{gathered} r=4 \\ h=\sqrt{100-20\times 4}=\sqrt{100-80}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \\ {V}_{MAX}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\times 4^2\times 2\sqrt{5} \\ {\mathrm{V}}_{\mathrm{MAX}}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\times 16\times 2\sqrt{5} \\ {\mathbf{V}}_{\mathbf{MAX}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{32}\mathbf{\pi }\sqrt{\mathbf{5}}}{\mathbf{3}} \end{gathered}$$