Zadanie nr. 13 matura z matematyki 2018 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wykorzystując własności ciągu geometrycznego możemy napisać:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{a}_3+a_6=-84\\ a_4+a_7=168\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{a}_1{q}^2+a_1{q}^5=-84\\ a_1{q}^3+a_1{q}^6=168\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{a}_1{q}^2+a_1{q}^5=-84\\ q\left(a_1{q}^2+a_1{q}^5\right)=168\end{array}\right. \\ q\times \left(-84\right)=168 /÷\left(-84\right) \\ \mathit{q}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2} \\ {a}_1{q}^2+a_1{q}^5=-84 \\ {a}_1\times {\left(-2\right)}^2+a_1\times {\left(-2\right)}^5=-84 \\ 4a_1-32a_1=-84 \\ -28a_1=-84 /÷\left(-28\right) \\ {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{3} \end{gathered}$$

Przypomnijmy sobie wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

$$\begin{gathered} S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q} \\ 32769=3\times \frac{1-{\left(-2\right)}^n}{1-\left(-2\right)} \\ 32769=1-{\left(-2\right)}^n \\ 32768=-{\left(-2\right)}^n /\times \left(-1\right) \\ -32768={\left(-2\right)}^n \\ {\left(-2\right)}^{15}={\left(-2\right)}^n \\ \mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{15} \end{gathered}$$