Zadanie nr. 7 matura z matematyki 2018 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wykorzystując dane z treści zadania wykonajmy rysunek pomocniczy:

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: 

Np.   $\left|\sphericalangle KLM\right|+\left|\sphericalangle KNM\right|=180°$

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia kątów:

$$\begin{gathered} \mathbf{|}\mathbf{\sphericalangle }\mathbf{K}\mathbf{L}\mathbf{M}\mathbf{|}\mathbf{=}180°-\left(90°-a+90°-c\right)=180°-90°+a-90°+c=\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{c} \\ \left|\sphericalangle KNM\right|\mathbf{=}180°-\left(90°-b\right)=\mathbf{90}\mathbf{°}\mathbf{+}\mathit{b} \\ |\sphericalangle \mathrm{KLM}|+|\sphericalangle \mathrm{KNM}|=a+c+b+90° \end{gathered}$$

Pokażemy teraz, że  $a+b+c=90°$. Spójrzmy na trójkąt ABC:

$$\begin{gathered} 2a+2b+2c=180° \\ 2\left(a+b+c\right)=180° \\ \mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}\mathbf{+}\mathit{c}\mathbf{=}\mathbf{90}\mathbf{°} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} |\sphericalangle \mathrm{KLM}|+|\sphericalangle \mathrm{KNM}|=a+c+b+90° \\ |\sphericalangle \mathrm{KLM}|+|\sphericalangle \mathrm{KNM}|=90°+90° \\ \mathbf{|}\mathbf{\sphericalangle }\mathit{K}\mathit{L}\mathit{M}\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{|}\mathbf{\sphericalangle }\mathbf{K}\mathbf{N}\mathbf{M}\mathbf{|}\mathbf{=}\mathbf{180}\mathbf{°} \end{gathered}$$

Co oznacza, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.