Zadanie nr. 13 matura z matematyki 2023 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Na początku wyznaczmy współrzędne punktu A i B, wykorzystamy do tego równanie prostej l oraz równanie paraboli:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\ y=4x^2-7x+1\end{array}\right.\begin{array}{}\end{array} \\ \left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ x-2=4x^2-7x+1\end{array}\right. \\ 4x^2-8x+3=0 \\ ∆=64-48=16 \\ \sqrt{∆}=4 \\ {x}_1=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ } x_2=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}} \\ {y}_1=\frac{1}{2}-2=\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{y}_2=\frac{3}{2}-2=\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \\ \mathit{A}\mathbf{=}\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right) \\ \mathit{B}\mathbf{=}\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$

Prosta l jest jest nachylona do osi OX pod kątem $45°$. Zatem prosta przechodząca przez punkty A i C jest nachylona do osi OX pod kątem $\alpha +45°$. Wykorzystując wzór z tablic wyznaczymy $tg(\alpha +45°)$:

$tg(\alpha +45°)=\frac{tg\alpha +tg45°}{1-tg\alpha \times tg45°}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}+1}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times 1}=\frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}=\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}=2$

Musimy teraz wyznaczyć równanie prostej AC:

$y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}$

Skoro AB jest średnicą okręgu, to kąt ACB jest prosty, a więc obliczyć współczynnik kierunkowy  prostej BC jest równy $-\frac{1}{2}.$ Prosta BC ma równanie $y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}.$

Punkt C leży na prostej AC i BC, więc możemy napisać, że:

$$\begin{gathered} 2\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2} \\ 2x-1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \\ 2x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2}x=\frac{11}{4} \\ 10x=11 \\ \mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{10}} \end{gathered}$$

Podstawmy obliczoną wartość x do równania w celu obliczenia y:

$$\begin{gathered} y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2} \\ y=2\left(\frac{11}{10}-\frac{5}{10}\right)-\frac{3}{2} \\ y=\frac{6}{5}-\frac{3}{2} \\ y\frac{12}{10}-\frac{15}{10} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{10}} \end{gathered}$$

Zatem punkt C ma współrzędne:

$\mathit{C}\mathbf{=}\left(\frac{11}{10};-\frac{3}{10}\right)$