Zadanie nr. 2 matura z matematyki 2023 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Tomek wygrał co najmniej cztery partie, zatem wybrał 4 lub 5 partii.

4 wygrane partie:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^1$ ( wybieramy które 4 z 5 partii Tomek wygrał, mnożymy przez prawdopodobieństwo wygrania do potęgi 4, bo tyle było wygranych partii przez Tomka, mnożymy przez prawdopodobieństwo przegrania do potegi 1, bo tyle było partii przegranych przez Tomka)

Analogicznie robimy dla 5 wygranych partii:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^5\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^0$

$$\begin{gathered} P=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^1+\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^5\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^0 \\ P=5\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\times \frac{3}{4}+1\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^5\times 1 \\ P={\left(\frac{1}{4}\right)}^4\times \frac{15}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^5 \\ P={\left(\frac{1}{4}\right)}^4\times \left(\frac{15}{4}+\frac{1}{4}\right) \\ P={\left(\frac{1}{4}\right)}^4\times 4 \\ P=\frac{1}{256}\times 4 \\ \mathit{P}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{64}} \end{gathered}$$