Zadanie nr. 26 matura z matematyki 2023 poziom podstawowy

Rozwiązanie

1. Na początku obliczymy wysokość ostrosłupa, wykorzystując własności trójkąta $30°,60°,90°.$

$$\begin{gathered} H=6÷2 \\ \mathit{H}\mathbf{=}\mathbf{3} \end{gathered}$$

2. Obliczamy długość krawędzi podstawy.

Jeszcze raz wykorzystując własności trójkąta $30°,60°,90°$ jesteśmy w stanie obliczyć ostatni bok tego trójkąta. Dolna przyprostokątna będzie o $\sqrt{3}$ razy dłuższa od drugiej przyprostokątnej. A zatem $3\times \sqrt{3}=\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}$

Z treści zadania wiemy, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, zatem w podstawie mamy kwadrat. Obliczona wyżej przyprostokątna to połowa długości boku kwadratu, zatem $$\begin{gathered} a=2\times 3\sqrt{3} \\ \mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{6}\sqrt{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

3. Możemy teraz obliczyć pole podstawy (kwadrat o boku$a=6\sqrt{3}$):

$$\begin{gathered} P_p={\left(6\sqrt{3}\right)}^2 \\ {P}_p=36\times 3 \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\mathbf{108} \end{gathered}$$

4. Obliczamy pole powierzchni bocznej (4 trójkąty o podstawie $a=6\sqrt{3}$ i wysokości $h=6$):

$$\begin{gathered} P_b=4\times \frac{1}{2}\times 6\sqrt{3}\times 6 \\ {P}_b=12\times 6\sqrt{3} \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{b}}\mathbf{=}\mathbf{72}\sqrt{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

5. Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

$$\begin{gathered} P_c=P_p+P_b \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\mathbf{108}\mathbf{+}\mathbf{72}\sqrt{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

6. Obliczamy objętość:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\times P_p\times H \\ V=\frac{1}{3}\times 108\times 3 \\ \mathit{V}\mathbf{=}\mathbf{108} \end{gathered}$$