Pierwiastki

Definicja Pierwiastka

$\sqrt[n]{a} = b \Rightarrow b^{n} = a n - s t o p i e ń p i e r w i a s t k a a - l i c z b a p i e r w i a s t k o w a n a b - w y n i k p i e r w i a s t k o w a n i a$

Pierwiastek $n - t e g o$ stopnia z liczby $a$ równa się liczbie $b$ podniesionej do potęgi $n - t e j$ .

Przykład:

$\sqrt[3]{8} = 2 \Rightarrow 2^{3} = 8 \sqrt[4]{81} = 3 \Rightarrow 3^{4} = 81$

Gdy stopień pierwiastka jest liczbą parzystą $n p . 2, 4, 6$ to liczba pierwiastkowana musi być dodatnia.

Nie można policzyć pierwiastka stopnia parzystego z liczby ujemnej, ponieważ podnosząc liczbę ujemną do parzystej potęgi otrzymamy liczbę dodatnią.

Przykład:

$\sqrt[2]{- 4} \neq - 2 p o n i e w a ż {(- 2)}^{2} \neq - 4$

Natomiast możemy obliczyć pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej

Przykład:

$\sqrt[3]{- 8} = - 2 \Rightarrow {(- 2)}^{3} = - 8 \sqrt[5]{- 32} = - 2 \Rightarrow {(- 2)}^{5} = - 32$

Pierwiastek możemy również zapisać za pomocą potęgi $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Przykład:

$\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{81} = 81^{\frac{1}{4}}$

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym nazywamy pierwiastek $2$ stopnia i nie musi on mieć wpisanego stopnia pierwiastka.

Przykład:

$\sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2^{2} = 4 \sqrt{16} = 4 \Rightarrow 4^{2} = 16$

Pierwiastek sześcienny

Pierwiastkiem sześciennym nazywamy pierwiastek $3$ stopnia.

Przykład:

$\sqrt[3]{8} = 2 \Rightarrow 2^{3} = 8 \sqrt[3]{27} = 3 \Rightarrow 3^{3} = 27$

Działania na pierwiastkach

Dodawanie pierwiastków

Przykład:

$\sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$

Odejmowanie pierwiastków

Przykład:

$4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = \sqrt{2} 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

Mnożenie pierwiastków

Przykład:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 6} = \sqrt{18} \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{4 \cdot 5} = \sqrt[3]{20} 4 \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} 3 \cdot 2 \sqrt[3]{3} = 6 \sqrt[3]{3}$

Dzielenie pierwiastków

Przykład:

$\sqrt{6} : \sqrt{2} = \sqrt{6 : 3} = \sqrt{2} \sqrt[3]{20} : \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{20 : 5} = \sqrt[3]{4} 4 \sqrt{2} : 2 = 2 \sqrt{2} 6 \sqrt{10} : 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{5}$

Potęgowanie pierwiastków

Przykład:

${(\sqrt{2})}^{2} = 2 {(\sqrt[3]{4})}^{3} = 4 {(\sqrt[3]{4})}^{2} = 4^{\frac{2}{3}}$

Pierwiastkowanie pierwiastków

Przykład:

$\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2 \cdot 2]{16} = \sqrt[4]{16} = 2 \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2 \sqrt[3]{\sqrt[4]{4096}} = \sqrt[3 \cdot 4]{4096} = \sqrt[12]{4096} = 2$

Pierwiastkowanie ułamków

Przykład:

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sqrt[3]{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{6}}$

Pierwiastek z potęgi

Przykład:

$\sqrt[3]{3^{3}} = 3 \sqrt[4]{6^{4}} = 6 \sqrt{8^{2}} = 8$

Wyłączanie czynnika przez znak pierwiastka

Przykład:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \sqrt[3]{2}$

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Przykład:

$2 \sqrt{3} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{3} = = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12} 2 \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{16}$

Wyszukiwarka Szkół

Wyszukiwarka profili

Studia

Wydziały

Uczelnie

Pierwiastki

Definicja Pierwiastka

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek sześcienny

Działania na pierwiastkach