Potęgi

Definicja Potęgi

$a^{n} = \underset{n r a z y}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a}} a - p o d s t a w a p o t ę g i n - w y k ł a d n i k p o t ę g i$

Potęgowanie to nic innego jak mnożenie tych samych liczb (podstawy potęgi). Czyli potęgowanie to nic innego jak ilocznyn $n$ czynników, z których każdy jest równy liczbie $a$

Przykład:

$3^{2} = 3 \cdot 3 = 9 2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 {(- 3)}^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - 27$

Działania na potęgach

Dodawanie potęg

Przykład:

$2^{11} + 2^{11} = 2 \cdot 2^{11} = 2^{12} 3^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 3 \cdot 3^{2} = 3^{3} 4^{3} + 4^{3} + 4^{3} + 4^{3} = 4 \cdot 4^{3} = 4^{4} 5^{2} + 5^{2} = 2 \cdot 5^{2}$

Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Przykład:

Jeżeli mamy iloczyn potęg o tej samej podstawie to wykładniki dodajemy

2^{4} \cdot 2^{5} = 2^{4 + 5} = 2^{9} 5^{2} \cdot 5^{8} = 5^{2 + 8} = 5^{10} 4^{- 2} \cdot 4^{3} = 4^{- 2 + 3} = 4^{1}

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku

Jeżeli mamy iloczyn potęg o tych samych wykładnikach to możemy pomnożyć podstawy i podnieść je do danej potęgi

Przykład:

3^{3} \cdot 5^{3} = {(3 \cdot 5)}^{3} = 15^{3} 4^{6} \cdot 2^{6} = {(4 \cdot 2)}^{6} = 8^{6}

Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Jeżeli mamy iloraz potęg o tej samej podstawie to wykładniki odejmujemy

Przykład:

4^{6} : 4^{2} = 4^{6 - 2} = 4^{4} \frac{6^{7}}{6^{2}} = 6^{7 - 2} = 6^{5} \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{3}{2}}} = 3^{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = 3^{- \frac{5}{6}}

Dzielenie potęg o tym samym wykładniku

Jeżeli mamy iloraz potęg o tych samych wykładnikach to, możemy najpierw podzielić podstawy a następnie podnieść do danej potęgi

Przykład:

12^{3} : 6^{3} = {(\frac{12}{6})}^{3} = 2^{3} \frac{12^{4}}{2^{4}} = {(\frac{12}{2})}^{4} = 6^{4} \frac{2^{100}}{4^{100}} = {(\frac{2}{4})}^{100} = {(\frac{1}{2})}^{100} = 2^{- 100}

Potęgowanie potęg

Jeżeli podnosimy potęgę to potęgi to wykładniki możemy pomnożyć

Przykład:

{(2^{2})}^{2} = 2^{2 \cdot 2} = 2^{4} {(3^{3})}^{2} = 3^{3 \cdot 2} = 3^{6} {(5^{\frac{1}{2}})}^{8} = 5^{\frac{1}{2} \cdot 8} = 5^{4} {(2^{\sqrt{3}})}^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 2^{\sqrt{6}}

Potęgowanie ułamka

Jeżeli potęgujemy ułamki, możemy oddzielnie spotęgować licznik oraz mianownik, pamiętając jednak o znaku przez ułamkiem

Przykład:

${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{3^{2}}{4^{2}} = \frac{9}{16} {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1^{3}}{3^{3}} = \frac{1}{27} {(- \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} {(\frac{3}{4})}^{- 2} = {(\frac{4}{3})}^{2} = \frac{16}{9} {(- \frac{1}{5})}^{- 2} = {(- 5)}^{2} = 25$

Potęga pierwiastka

Pierwiastkowanie to nic innego jak potęgowanie. Pierwiastek możemy zapisać jako ułamek potęgi a następnie pomnożyć wykładniki.

Przykład:

${(\sqrt{9})}^{2} = {(9^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{1} = 9 {(\sqrt{2})}^{4} = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 2^{2} = 4 {(\sqrt[3]{3})}^{6} = {(3^{\frac{1}{3}})}^{6} = 3^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 3^{2} = 9$

Potęgowanie o wykładniku 0

Każda liczba podniesiona do potęgi $0$ daje nam wynik $1$

Przykład:

2^{0} = 1 134^{0} = 1 {(- 41)}^{0} = 1 {(\frac{1}{4})}^{0} = 1 {(5^{4} + \sqrt{3})}^{0} = 1

Potęgowanie o wykładniku ujemnym

Jeżeli potęgujemy przez wykładnik ujemny to odwracamy podstawę

Przykład:

4^{- 1} = \frac{1}{4} 3^{- 2} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} {(\frac{1}{2})}^{- 3} = {(2)}^{3} = 8

Wyszukiwarka Szkół

Wyszukiwarka profili

Studia

Wydziały

Uczelnie

Potęgi

Definicja Potęgi

Działania na potęgach