Zadanie nr. 21 egzamin ósmoklasisty z matematyki 2019

Rozwiązanie

Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość boku BC:

$$\begin{gathered} {16}^2+{12}^2={\left|BC\right|}^2 \\ 256+144={\left|BC\right|}^2 \\ 400={\left|BC\right|}^2 \\ \mathbf{\left|}\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{\right|}\mathbf{=}\mathbf{20}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{m} lub \left|BC\right|=-20 \end{gathered}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy.

Obliczamy obwód trójkąta:

$$\begin{gathered} Obw=12cm+16cm+20cm \\ \mathit{O}\mathit{b}\mathit{w}\mathbf{=}\mathbf{48}\mathit{c}\mathit{m} \end{gathered}$$

Sporządzamy rysunek pomocniczy i zaznaczamy sytuację przedstawioną w poleceniu:

Powinniśmy zauważyć, że trójkąt CDE i trójkąt ABC są do siebie podobne (cecha kąt-kąt-kąt), zatem możemy ułożyć proporcję:

$$\begin{gathered} \frac{\left|AB\right|}{\left|DE\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|DC\right|} \\ \frac{12}{\left|DE\right|}=\frac{16}{8} \\ Mnożymy na krzyż \\ 96=16\left|DE\right| \\ \mathbf{\left|}\mathbf{D}\mathbf{E}\mathbf{\right|}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathit{c}\mathit{m} \end{gathered}$$

Sporządzamy drugi rysunek pomocniczy:

Brakujący bok to ramię trapezu:

$$\begin{gathered} 6+8=x^2 \\ 36+64=x^2 \\ {x}^2=100 \\ \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathit{c}\mathit{m} lub x=-10cm \end{gathered}$$

Oczywiście ujemną wartość odrzucamy.

Obliczamy obwód trapezu:

$$\begin{gathered} Obw=10cm+6cm+10cm+12cm+6cm \\ \mathit{O}\mathit{b}\mathit{w}\mathbf{=}\mathbf{44}\mathit{c}\mathit{m} \end{gathered}$$

Obliczamy różnicę między obwodami:

$48cm-44cm=\mathbf{4}\mathit{c}\mathit{m}$