Zadanie nr. 4 matura z matematyki 2023 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Na początek spróbujmy przekształcić naszą nierówność:

$$\begin{gathered} x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3 \\ {x}^3-x^{2}y+y^3-x{y}^2\le 0 \\ {x}^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)\le 0 \\ {x}^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\le 0 \\ \left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)\le 0 / \left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right) \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)\le 0 \\ {\left(x-y\right)}^2\left(x+y\right)\le 0 \end{gathered}$$

Skorzystamy teraz z podanego w treści zadania równania i podstawimy je do nierównosci:

$$\begin{gathered} \mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{4} \\ \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathit{y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\left(4-y-y\right)}^2\times 4\le 0 \\ {\left(4-2y\right)}^2\times 4\le 0 \\ {\left(4-2y\right)}^2\le 0 \\ 16-16y+4y^2\le 0 \\ {y}^2-4y+4\le 0 \end{gathered}$$

Obliczamy deltę:

$$\begin{gathered} ∆={\left(-4\right)}^2-4\times 1\times 4 \\ ∆=16-16 \\ \mathbf{∆}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ {x}_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=\mathbf{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=4-y \\ \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2} \\ więc \\ 2=4-y \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2} \end{gathered}$$