Zadanie nr. 36 matura z matematyki 2023 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Przypomnijmy sobie wzory:

$$\begin{gathered} P_c=2P_p+P_b \\ V=P_p\times H \end{gathered}$$

Zaczniemy od obliczenia pola podstawy, czyli pola trójkąta:

$$\begin{gathered} P_p=\frac{1}{2}\times 8\times 3 \\ {P}_p=12 \end{gathered}$$

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej musimy obliczyć długości ramion trójkąta w podstawie. Zrobimy to wykorzystując twierdzenie Pitagorasa oraz fakt,że jest to trójkąt równoramienny:

$$\begin{gathered} 3^2+4^2=x^2 \\ 9+16=x^2 \\ {x}^2=25 \\ \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{ }x=-5 \end{gathered}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy.

Teraz musimy obliczyć wysokość graniastosłupa. Wykorzystamy trójkąt CBE oraz własności trójkąta $30°,60°,90°$.

W naszym przypadku  $a=5 więc H=5\sqrt{3}$

Obliczamy pole boczne ( 2 takie same prostokąty i jeden inny):

$$\begin{gathered} P_b=2\left(5\times 5\sqrt{3}\right)+8\times 5\sqrt{3} \\ {P}_b=50\sqrt{3}+40\sqrt{3} \\ {P}_b=90\sqrt{3} \\ A więc P_c=2P_p+P_b \\ {P}_c=2\times 12+90\sqrt{3} \\ {\mathit{P}}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\mathbf{24}\mathbf{+}\mathbf{90}\sqrt{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

Obliczamy objętość:

$$\begin{gathered} V=12\times 5\sqrt{3} \\ \mathit{V}\mathbf{=}\mathbf{60}\sqrt{\mathbf{3}} \end{gathered}$$