Zadanie nr. 25 matura z matematyki 2023 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Skoro mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny to w podstawie jest kwadrat. Bok kwadratu ma 15, zatem możemy obliczyć jego przekątną d:

$$\begin{gathered} d=a\sqrt{2} \\ a=15 \\ \mathit{d}\mathbf{=}\mathbf{15}\sqrt{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

Cosinus opisuje stosunek między długością przyprostokątnej leżącej przy kącie, a przeciwprostokątną (przeciwprostokątna to przekątna tego graniastosłupa).

Możemy więc zapisać:

$\cos \alpha =\frac{d}{x}$

Podstawiamy dane:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{x} \\ Mnożymy na krzyż: \\ \sqrt{2}x=45\sqrt{2} \\ \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{45} \end{gathered}$$