Zadania

Wybierz poprawną odpowiedź

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f\left(x\right)=-2(x+3)(x-5).$ Liczby $x_1,x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $f$. Zatem

Rozwiąż zadanie

Styczna do paraboli o równaniu $y=\sqrt{3}{x}^2-1$ w punkcie $P=(x_0, y_0)$ jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° . Oblicz współrzędne punktu P. 

Wybierz poprawną odpowiedź

Równanie $\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0$

Rozwiąż zadanie

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz $\left|AC\right|>\left|BC\right|$  . Dwusieczna  $d_C$  kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem

dwusiecznej $d_A$  kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej  $d_C$ kąta ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej 

względem dwusiecznej $d_B$  kąta ABC (zobacz rysunek).  

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg. 

Wybierz poprawną odpowiedź

Funkcja liniowa $f$ określona jest wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{3}x-1,$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x.$ Wskaż zdanie prawdziwe.

Rozwiąż zadanie

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba $k^{3}m-k{m}^3$ jest podzielna przez 6.  

Rozwiąż zadanie

Z liczb ośmioelementowego zbioru Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Wybierz poprawną odpowiedź

Wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=x^2-6x-3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Rozwiąż zadanie

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru  $V=\frac{1}{3}\mathrm{\pi H}\left({\mathrm{r}}^2+\mathrm{rR}+{\mathrm{R}}^2\right)$ , gdzie r i R są promieniami podstaw (r$<$R ), a H jest

wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 840π , a r = 6 . Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły

do jednej z jej podstaw.  

Wybierz poprawną odpowiedź

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax+b,$ a punkt $M=(3,-2)$ należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik $a$ we wzorze tej funkcji jest równy