Zadanie nr. 34 matura z matematyki 2017 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.  

Wykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie $\frac{15\sqrt{3}}{4}=3·\frac{1}{2}a·\frac{5\sqrt{3}}{4}$, skąd otrzymujemy a=2

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS otrzymujemy

$H^2=h^2-{\left|DO\right|}^2$

Ponieważ $\left|DO\right|=\frac{1}{3}a·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}, więc$

$$\begin{gathered} H^2=h^2-{\left|DO\right|}^2 \\ Stąd H=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Zatem objętość ostrosłupa jest równa

$V=\frac{1}{3}{P}_p·H=\frac{1}{3}·\frac{4\sqrt{3}}{4}·\frac{\sqrt{209}}{4}=\frac{\sqrt{209}}{12}$