Zadanie nr. 28 matura z matematyki 2018 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność 

$\frac{a+b}{2ab}\ge \frac{2}{a+b}$

Ponieważ liczby $a i b$ są dodatniem więc $a+b>0 i 2ab>0$. Mnożymy obie strony nierówności przez $2ab\left(a+b\right)$, otrzymujemy

$$\begin{gathered} {\left(a+b\right)}^2\ge 4ab \\ {a}^2+2ab+b^2\ge 4ab \\ {a}^2-2ab+b^2\ge 0 \\ {\left(a-b\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a$a i b$, więc w szczególności również dla liczb dodatnich. To kończy dowód.