Zadanie nr. 34 matura z matematyki 2018 poziom podstawowy termin dodatkowy

Rozwiązanie

$$\begin{gathered} Odległość między punktami \\ \sqrt{{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(9-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-9\right)}^2} \\ Punkt B leży na prostej y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}, więc \\ jego współrzędne \left(x,y\right) spełniają równanie tej prostej. \\ {2}^2+8^2={\left(x-1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-9\right)}^2 \\ 4+64={\left(x-1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}x-\frac{15}{2}\right)}^2 \\ 68=x^2-2x+1+\frac{1}{4}{x}^2-\frac{15}{2}x+\frac{225}{4} /·4 \\ 272=4x^2-8x+4+x^2-30x+225 \\ 272=5x^2-38x+229 \\ 272-5x^2+38x-229=0 \\ -5x^2+38x+43=0 \\ ∆={38}^2-4·\left(-5\right)·43=1444+860=2304 \\ \sqrt{∆}=\sqrt{2304}=48 \\ {x}_1=\frac{-38-48}{2·\left(-5\right)}=\frac{-86}{-10}=8,6 \\ {x}_2=\frac{-38+48}{2·\left(-5\right)}=\frac{10}{-10}=-1 \\ {y}_1=\frac{1}{2}·8,6+\frac{3}{2}=4,3+1,5=5,8 \\ {y}_2=\frac{1}{2}·\left(-1\right)+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1 \\ B=\left(8,6; 5,8\right) \\ A=\left(-1,1\right) \end{gathered}$$