Zadanie nr. 34 matura z matematyki 2018 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Rozważany graniastosłup ma 5 ścian, a każda z nich ma takie samo pole. Obliczamy pole podstawy, a zarazem pole jednej ściany bocznej: 

$45\sqrt{3}÷5=9\sqrt{3}$

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, więc jego pole jest równe

$P_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Obliczamy długość krawędzi podstawy: 

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$

Ściana boczna jest prostokątem o bokach długości a i h, więc pole każdej ściany bocznej jest równe 

$P_{ABED}=ah$

Z warunków zadania wynika, że:  

$ah=9\sqrt{3}$

Znamy długość krawędzi podstawy a, zatem: 

$6h=9\sqrt{3}$

Obliczamy wysokość graniastosłupa 

$h=\frac{3}{2}\sqrt{3}$

Objętość graniastosłupa jest równa 

$V=P_{ABC}·h=9\sqrt{3}·\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{81}{2}$