Zadanie nr. 14 matura z matematyki 2017 poziom podstawowy termin dodatkowy

Rozwiązanie

Korzystam z własności ciągu geometrycznego.

$$\begin{gathered} a_3^2=a_2·a_4 \\ {\left(4x^3\right)}^2=2x^2·8 \\ 16x^6=16x^2 /:16 \\ {x}^6=x^2 \\ {x}^6-x^2=0 \\ {x}^2\left(x^4-1\right)=0 \\ {x}^2\left[{\left(x^2\right)}^2-1\right]=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a^2=b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right) \\ {x}^2\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=0 \\ {x}^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=0 \\ x=0 \\ x=1 \\ x=-1 \\ Dla x =0 \\ \left(0, 2·0^2, 4·0^2, 8\right)=\left(0, 0, 0, 8\right) \end{gathered}$$

To nie jest ciąg geometryczny, ponieważ nie istnieje $q$, dla którego $0·q=8$

$$\begin{gathered} Dla x=1 \\ \left(1, 2·1^2, 4·1^3, 8\right)=\left(1, 2, 4, 8\right) \end{gathered}$$

To jest ciąg geometryczny o wyrazach nieujemnych.

$$\begin{gathered} Dla x=-1 \\ \left(-1, 2·{\left(-1\right)}^2, 4·{\left(-1\right)}^3, 8\right)=\left(-1, 2, -4, 8\right) \end{gathered}$$

To jest ciąg geometryczny. Ma on dwa wyrazy ujemne.

Odp. Tylko dla $x=1$ciąg $\left(x, 2x^2, 4x^3,8\right)$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach ujemnych.