Zadanie nr. 15 matura z matematyki 2019 poziom podstawowy

Rozwiązanie

Trójkąty $OAK$ i $PBK$ są prostokątne, bo promień okręgu poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do prostej stycznej. Kąty $BKP$ i $AKO$ są równe, bo są kątami wierzchołkowymi, stąd $∆OAK ~ ∆PBK.$

Z podobieństwa tych trójkątów:

$$\begin{gathered} \frac{\left|AO\right|}{\left|BP\right|}=\frac{\left|OK\right|}{\left|KP\right|} \\ \frac{5}{3}=\frac{\left|OK\right|}{16-\left|OK\right|} \\ 5·\left(16-\left|OK\right|\right)=3·\left|OK\right| \\ 80-5·\left|OK\right|=3·\left|OK\right| \\ -8\left|OK\right|=-80 \\ \left|OK\right|=10. \end{gathered}$$